数学分析
从实数到 Fourier 与参数积分
课堂演示稿 · 配套数学分析定理知识库 · 第三版上下册全书
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一条主线，五个模块
01 极限
用严格语言描述无限趋近。
02 连续
研究局部变化怎样形成整体性质。
03 微分
用局部线性化刻画变化率。
04 积分
由有限分割通向整体累积。
05 级数
判断无穷叠加是否稳定。
学习方法
定义 → 定理 → 反例 → 应用。
“越来越接近”够严格吗？
有限个数据永远不能证明未来全部项的行为。我们需要可量化、可检验的语言。
从倒推找 N，到正推写证明
寻找策略
要使 1/n < ε，只需 n > 1/ε，因此可取 N > 1/ε。
正式表达
任给 ε>0，取 N>1/ε。当 n>N 时，|1/n−0|<1/N<ε。
课堂活动：让学生用同一模板证明 (2n+1)/(n+1) → 2。
极限看附近，不看这一点
定义中的 “0<” 排除了 x=x₀。改变单点函数值，不会改变函数在该点的极限。
连续是三件事同时成立
有定义
f(x₀) 存在。
有极限
lim f(x) 存在。
值相等
lim f(x)=f(x₀)。
间断分类
可去、跳跃、无穷、振荡。
连续函数的三件法宝
最值定理
有界，而且能取得最大值与最小值。
介值定理
端点函数值之间没有“跳过去”的值。
一致连续
一个 δ 同时服务于区间中的所有点。
条件意识
闭区间连续
介值定理只保证存在
若 f 在 [a,b] 连续，且 f(a)f(b)<0，则至少存在 c∈(a,b) 使 f(c)=0。
课堂任务：证明 x³+x−1=0 在 (0,1) 有且只有一个实根。
从平均变化率到瞬时变化率
若 f 在 [a,b] 连续、在 (a,b) 可导，则存在 ξ∈(a,b) 满足上式。
Rolle → Lagrange → Cauchy
Rolle
端点值相等 ⇒ 某点导数为零。
Lagrange
某点导数等于平均变化率。
Cauchy
比较两个函数的增量与导数。
下游应用
单调性、不等式、L'Hôpital、Taylor。
用多项式逼近函数
多项式负责“近似”，余项负责“可信”。没有误差估计的近似是不完整的。
三张必须会用的工具卡
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − …
强调：展开中心、适用范围、余项形式缺一不可。
分割、取点、求和、取极限
局部
每个小区间用矩形近似。
整体
当最大区间长度趋零，积分和稳定到唯一值。
微分与积分互为逆过程
第一式由累积构造原函数，第二式把积分计算变成端点代值。
先找反常点，再写极限
无穷区间
∫₁∞ 1/xᵖ dx 在 p>1 时收敛。
无界函数
∫₀¹ 1/xᵖ dx 在 p<1 时收敛。
无穷相加，先看部分和
级数收敛，是说部分和数列 {Sₙ} 收敛。aₙ→0 只是必要条件，调和级数说明它并不充分。
收敛判别决策树
正项 + 同阶结构
比较 / 极限比较。
阶乘或指数
比值判别。
整体 n 次幂
根值判别。
正负交错
先查绝对收敛，再看 Leibniz。
第 1—9 章：从实数到多元微分
01 实数和数列极限
完备性、确界、Cauchy、Stolz。
02 函数的连续性
极限、闭区间、一致连续。
03 函数的导数
中值定理、L'Hôpital、作图。
04 Taylor 定理
Peano、Lagrange、Cauchy 余项。
05 求导的逆运算
原函数、换元、分部、有理函数。
06 函数的积分
Riemann、基本定理、Lebesgue、数值积分。
07 积分学的应用
几何、物理、Wallis、Stirling。
08 多变量连续性
Euclid 空间、开闭集、紧致性。
09 多变量微分学
Jacobian、隐逆映射、极值。
每章对应电子教材学习卡、教案矩阵和定理库章节标签。
第 10—18 章：从重积分到参数积分
10 多重积分
Fubini、换元、三重与 n 重积分。
11 曲线积分
两型积分、路径无关、Green。
12 曲面积分
定向、通量、Gauss、Stokes。
13 场的数学
梯度、散度、旋度、正交坐标。
14 数项级数
正项/任意项判别与级数乘法。
15 函数列与函数项级数
一致收敛、幂级数、一致逼近。
16 反常积分
Dirichlet/Abel、瑕积分、重积分。
17 Fourier 分析
收敛、Cesàro、正交系、变换。
18 含参变量积分
一致收敛、Γ/B 函数。
附录：多项式插值与逼近——Bézier 曲线和 Coons 曲面举例。
每个定理都问四个问题
条件
哪些假设不可省略？
结论
存在、唯一，还是可计算？
用途
它连接了哪些知识点？
反例
删掉条件会发生什么？
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沿关联图继续探索
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